Trougao

Uglovi trougla

Prema uglovima, trouglovi mogu biti:

1. Oštrougli (sva tri ugla su oštra);

2. Pravougli (jedan prav, dva oštra);

3. Tupougli (jedan tup, dva oštra).

Zbir unutrašnjih uglova iznosi 180∘.

α+β+γ=180∘

                                                  Zbir spoljašnjih uglova iznosi 360∘.

  α  1+β1+γ1=360∘

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je opružen ugao.

α + α1 = 180∘
β + β1 = 180∘
γ + γ1 = 180∘

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.

α1 = β + γ
β1 = α + γ
γ1 = α + β

---

Stranice trougla

Prema dužini stranica, trouglovi mogu biti:

1. Raznostrani (sve stranice su različite dužine):

a≠b≠c

2. Jednakokraki (dve stranice su jednake - kraci, treća - osnovica):

a≠b=c

3. Jednakostranični (sve tri stranice su jednake, i sva tri ugla jednaka (60∘):

a=b=c

Zbir dužina svake dve stranice veći je od dužine treće stranice i razlika svake dve stranice manja je od treće stranice.

|a−b|<c<a+b

|b−c|<a<b+c

|c−a|<b<c+a

---

Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi, i obratno, naspram jednakih uglova nalaze se jednake strance.

Naspram veće stranice je veći ugao, i obratno, naspram većeg ugla, veća je stranica:

npr., ako je a<c<b tada je α<γ<β, ili

npr., ako je γ<α<β tada je je c<a<b

---

Značajne tačke trougla

Centar opisane kružnice trougla Oo nalazi se u preseku simetrala stranica trougla a poluprečnik je ro=OoA=OoB=OoC. Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

---

Centar upisane kružnice trougla Ou;

Centar upisane kružnice trougla Ou nalazi se u preseku simetrala uglova trougla a poluprečnik je ru=OoP.

---

Težište trougla T nalazi se u preseku težišnih duži trougla: ta∩tb∩tc=T. Pri tom je AT=2TA1;BT=2TB1;CT=2TC1.

Ortocentar trougla H nalazi se u preseku pravih kojima pripadaju visine trougla: ha∩hb∩hc=H.

---

Obim i površina trougla

Za svaki trougao je:

O=a+b+c

P=a⋅ha/2=b⋅hb/2=c⋅hc/2

Obim jednakokrakog trougla je

O=a+2b

a obim jednakostraničnog trougla je

O=3a

---

Površina pravouglog trougla se računa kao

P=a⋅b/2=c⋅hc/2

Pitagorina teorema

Kvadrat nad hipotenuzom cjednak je zbiru kvadrata nad katetama a i b pravouglog trougla.

c2=a2+b2

a2=c2−b2

;

b2=c2−a2

Talesova teorema

Ako dve paralelne prave seku krake konveksnog ugla sa temenom u tački A, i to jedan krak u tačkama E i B, a drugi u tačkama A i A, onda je:

AEAB=ADAC=DEBC